Question

已知梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD相交于0，S₁，S₂，S₃，S₄分别为△COD、△AOB、△AOD、△BOC的面积．证明：
（1）S₃=S₄=

S1S2

；
（2）S_梯形ABCD=（

S1

+

S2

）²．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：（1）由AB∥CD，可得△COD∽△AOB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得

OD

OB

=

S1 S2

①，又由△AOD与△AOB等高，可得S_△AOD：S_△AOB=S₃：S₂=OD：OB②，联立①②，即可得S₃=S₂•

S1 S2

=

S1S2

，又由△ABC与△ABD同底等高，可得S_△ABC=S_△ABD，继而证得S₄=S₃；
（2）由S_梯形ABCD=S₁+S₂+S₃+S₄，S₃=S₄=

S1S2

，即可证得S_梯形ABCD=（

S1

+

S2

）²．

解答：证明：（1）∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴

S1

S2

=（

OD

OB

）²，
∴

OD

OB

=

S1 S2

①，
∵△AOD与△AOB等高，
∴S_△AOD：S_△AOB=S₃：S₂=OD：OB②，
由①②得：S₃：S₂=

S1 S2

，
∴S₃=S₂•

S1 S2

=

S1S2

，
∵△ABC与△ABD同底等高，
∴S_△ABC=S_△ABD，
∵S_△AOD=S_△ABD-S_△AOB，S_△BOC=S_△ABC-S_△AOB，
∴S_△AOD=S_△BOC，
即S₄=S₃，
∴S₃=S₄=

S1S2

；

（2）∵S_梯形ABCD=S_△COD+S_△AOB+S_△AOD+S_△BOC，
∴S_梯形ABCD=S₁+S₂+S₃+S₄，
∵S₃=S₄=

S1S2

，
∴S_梯形ABCD=S₁+2

S1S2

+S₂=（

S1

+

S2

）²．

点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比．