Question

一条抛物线y=x²+mx+n经过点（0，）与（4，）．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）将已知点的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．进而可求出抛物线的顶点坐标；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当圆与y轴相切时，那么圆心的横坐标的绝对值为1，可将其横坐标（分正负两个）代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标；
②当圆与x轴相切时，那么圆心的纵坐标的绝对值为1，然后仿照①的方法即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）由抛物线过（0，），（4，）两点，
得，
解得．
∴抛物线的解析式是：y=x²-x+，（3分）
由y=x²-x+=（x-2）²+，得抛物线的顶点（2，）；

（2）设点P的坐标为（x，y）
①当圆P与y轴相切时，有|x|=1，
∴x=±1
由x=1，得y=×1-1+=
由x=-1，得y=×（-1）²-（-1）+=
此时，点P的坐标为P₁（1，），P₂（-1，）；
②当圆P与x轴相切时，有|y|=1
∵抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y＞0，∴y=1
由y=1，得x²-x+=1
解得x=2±
此时，点P的坐标为P₁（2-，1），P₄（2+，1）
综上所述，圆心P的坐标为P₁（1，），P₂（-1，），P₃（，1），P₄（，1）．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及切线的判定，要注意的是（2）题中要分与x轴相切和与y轴相切两种情况进行讨论，不要漏解．