Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是射线BC上一点，在DA的顺时针方向作∠ADF=45°，DF所在的直线与射线AC交于点E．
（1）如图，若点D在线段BC上运动，
①△ABD与△DEC是否相似，请说明理由；
②设BD=x，△DEC的面积为y，求y与x的函数关系式；
（2）点D（与B不重合）在射线BC上运动，BD为何值时，△ADE是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）①△ABD与△DEC相似，
理由：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠ADF=45°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DEC；
②作AH⊥BC，垂足为H，如图1，
易知△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=，
∴AH=2，△ABD的面积为，
∵DC=4-x，△ABD∽△DCE，
∴，
∴；

（2）（Ⅰ）D在线段BC上，
①AD=AE，此时B、D重合，不合题意，
②若AD=DE，如图2，
∵由（1）①得△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=，
∴BD=4-，
③若AE=DE，如图3，
∵∠ADF=45°，
∴易得△ADE是等腰直角三角形，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴BD=2；

（Ⅱ）D在线段BC的延长线上，
∵∠ADF=45°，
∴∠ADE=135°，
∴只有AD=DE，如图4，
∵由（1）①得△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=，
∴BD=4+，
综上：BD=2，4-，4+．
分析：（1）相似；根据三角形外角的性质即可得到∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，从而得到∠BAD=∠EDC，进而得到两三角形相似．
（2）分D在线段BC上和D在线段BC的延长线上，两种情况讨论即可得到BD为何值时，△ADE是等腰三角形．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，难度较大．