Question

如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切．
（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到OC是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解．
解答：证明：（1）连OM，过O作ON⊥CD于N；
∵⊙O与BC相切，
∴OM⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴OM=ON，
∴CD与⊙O相切．

解：（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°，
∴AC=，∠MOC=∠MCO=45°，
∴MC=OM=OA，
∴OC=；
又∵AC=OA+OC，
∴OA+OA=，
∴OA=2-．
点评：此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定．注意：运用数量关系证明圆的切线的方法．