Question

20．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是$\widehat{AC}$上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=$\frac{4}{5}$，则AE的长是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 1.2

Answer 1

分析 利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．

解答 解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=$\frac{4}{5}$，AB=4$\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{28}{5}$，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=$\frac{4}{5}$：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=$\frac{28}{5}$-5x，
∴CE=28-25x，
∵AC=4，
∴x+28-25x=4，
解得：x=1．
故选：C．

点评 题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．