Question

（2013•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0），把以上三点的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的垂线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A（0，3），交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0），
∴

c=3 0=4a+2b+c 0=36a+6b+c

，
解得：

a= 1 4 b=-2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-2x+3；

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
∵抛物线交x轴于B、C两点坐标分别为（2，0），（6，0）．
∴对称轴x=

2+6

2

=4，
∴OB=2，AB=

2 2+3 2

=

13

，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，
即

13

4

=

2

CE

，
解得CE=

8 13

13

，
∵

8 13

13

＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交；

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=-

1

2

x+3；
设P点的坐标为（m，

1

4

m²-2m+3），
则Q点的坐标为（m，-

1

2

m+3）；
∴PQ=-

1

2

m+3-（

1

4

m²-2m+3）=-

1

4

m²+

3

2

m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=

1

2

×（-

1

4

m²+

3

2

m）×6，
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

，
∴当m=3时，△PAC的面积最大为

27

4

，
此时，P点的坐标为（3，-

3

4

）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．