【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是边BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接CE.
(1)如图,求证:BD=CE;
(2)若AF平分∠DAE交直线BC于点F.
①如图,当点F在线段BC上,猜想线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;
②若BD=6,CF=8,直接写出AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①BD2+FC2=DF2,证明见解析;②6或
【解析】
(1)根据SAS,只要证明∠1=∠2即可求得△ABD≌△ACE,从而解决问题;
(2)①连接FE,想办法证明∠ECF=90°,EF=DF,利用勾股定理即可解决问题;
②过点A作AG⊥BC于G,在Rt△ADG中,想办法求出AG、DG即可解决问题.
解:(1)∵AE⊥AD,
∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°,
又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE
(2)结论:BD2+FC2=DF2.理由如下:
连接FE,∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠3=45°
由(1)知△ABD≌△ACE
∴∠4=∠B=45°,BD=CE
∴∠ECF=∠3+∠4=90°,
∴CE2+CF2=EF2,
∴BD2+FC2=EF2,
∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠EAF,
在△DAF和△EAF中,
∴△DAF≌△EAF
∴DF=EF
∴BD2+FC2=DF2.
(3)如图,过点A作AG⊥BC于G,
由(2)知DF2=BD2+FC2=62+82=100.
∴DF=10,
当点F在线段BC上时,BC=BD+DF+FC=6+10+8=24,
∵AB=AC,AG⊥BC,
∴BG=AG=BC=12,
∴DG=BG-BD=12-6=6,
∴在Rt△ADG中,AD=
当点F在线段BC的延长线上时,BC=BD+DF-FC=6+10-8=8,
∵AB=AC,AG⊥BC,
∴BG=AG=BC=4,
∴DG= BD- BG=6-4=2,
∴在Rt△ADG中,AD=
综上,AD的长为或
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【题目】为了争创全国文明城市“六连冠”,写好2020年包头文明“答卷”,我市某班学生开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动,采取随机抽样的方式对全年级同学进行卷调查,问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个等级,划分等级后的数据整理如下表:
同时该班又抽取了班里的8名学生(分别为,,,,,,,),进行垃圾分类投放检测,检测结果如下表)其中“√”表示投放正确,“×”表示投放错误.
根据上表回答问题:
(1)求本次问卷调查取样的样本容量和表中的值;
(2)检测结果中,有几名学生正确投放了至少三类垃圾?请列举出这几名学生;
(3)为进一步了解学生垃圾分类的投放情况,从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生巾随机抽取2名进行访谈,请用列表或树状图法求抽到学生的概率.
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【题目】某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程.为了解全校学生对每类课程的选择情况,随机抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类),先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
(1)本次随机调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分;
(3)若该校共有名学生,请估计全校学生选择“戏曲”类的人数;
(4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”,用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率.(书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示)
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【题目】在2019CCTV中华诗词大赛中,某市参赛选手表现突出,成绩均不低于60分.为了更好地了解该市赛区的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行了整理,得到如图的两幅不完整的统计图表:根据所给信息,解答下列问题:
(1)在表中的频数分布表中,m= ,n= .
(2)请补全图中的频数分布直方图.
(3)按规定,成绩在80分以上(包括80分)的选手进入决赛.若该市共有4000人参赛,请估计约有多少人进入决赛?
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【题目】如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置……,则正方形铁片连续旋转2020次后,点P的坐标为__________.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,BC.OE∥BC交AC于E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠BAC=30°,AB=4,直接写出线段CF的长.
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【题目】为庆祝建国周年,东营市某中学决定举办校园艺术节.学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加.为了了解报名情况,组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查,现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,求“声乐”类对应扇形圆心角的度数;
(4)小东和小颖报名参加“器乐”类比赛,现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器,用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率.
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【题目】在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
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【题目】(提出问题)课间,一位同学拿着方格本遇人便问:“如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A、B、C都是格点,如何证明点A、B、C在同一直线上呢?”
(分析问题)一时间,大家议论开了. 同学甲说:“可以利用代数方法,建立平面直角坐标系,利用函数的知识解决”,同学乙说:“也可以利用几何方法…”同学丙说:“我还有其他的几何证法”……
(解决问题)请你用两种方法解决问题
方法一(用代数方法):
方法二(用几何方法):
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