Question

【题目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接CE．

（1）如图，求证：BD=CE；

（2）若AF平分∠DAE交直线BC于点F．

①如图，当点F在线段BC上，猜想线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；

②若BD=6，CF=8，直接写出AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①BD2+FC2＝DF2，证明见解析；②6或

【解析】

（1）根据SAS，只要证明∠1=∠2即可求得△ABD≌△ACE，从而解决问题；

（2）①连接FE，想办法证明∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解决问题；

②过点A作AG⊥BC于G，在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题．

解：（1）∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，

又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

（2）结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下：

连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠3＝45°

由（1）知△ABD≌△ACE

∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE

∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，

∴CE2+CF2＝EF2，

∴BD2+FC2＝EF2，

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

在△DAF和△EAF中，

∴△DAF≌△EAF

∴DF＝EF

∴BD2+FC2＝DF2．

（3）如图，过点A作AG⊥BC于G，

由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100．

∴DF=10，

当点F在线段BC上时，BC=BD+DF+FC=6+10+8=24，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴BG=AG=BC=12，

∴DG=BG-BD=12-6=6，

∴在Rt△ADG中，AD=

当点F在线段BC的延长线上时，BC=BD+DF-FC=6+10-8=8，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴BG=AG=BC=4，

∴DG= BD- BG=6-4=2，

∴在Rt△ADG中，AD=

综上，AD的长为或