Question

【题目】如图，中，，为上一点，过三点的交于，过点作，交于点．

（1）若是中点，连结，求证：四边形是平行四边形

（2）连结，．当，且，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

(1) 连结CM，PB，DM，根据圆内接四边形的性质得到∠BMP=90°，BP为⊙O的直径，再证明MD为⊙O的直径，最后证明PC∥MD，根据平行四边形的判定定理即可得到；

(2) 连结BD，先证四边形PDBM为矩形，再根据在Rt中，AC=4，tanA=即可求出答案；

解（1）连结CM，PB，DM，

∵∠C=90°，四边形BCPM为圆内接四边形，

∴∠C+∠BMP=180°

∴∠BMP=90°，BP为⊙O的直径，

又PD∥AB，∴∠DPM=90°

∴MD为⊙O的直径

∵∠C=90°，M为AB的中点

∴CM=BM

∴弧CM=弧BM，又MD为⊙O的直径

∴DM垂直平分BC

∴PC∥MD，

∴四边形APDM为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；

（2）如图，连结BD，CD

∵MD和BP均为⊙O的直径，

∴∠DPM=∠PMB=∠PDB=90°

∴四边形PDBM为矩形，

∴PM=BD

∵PM=PC

∴PC=BD，弧PC=弧BD

∴∠BPD=∠CDP（内错角相等，两直线平行），

∴BP∥CD

∴PD=BC

在Rt中，AC=4，tanA=，

∴BC=4tanA=2

∴PD=BC=2；