如图.∠A=45°.AB=30.点E在线段AB上运动.过点E作DE⊥AB.交AG于点D．以DE.EB为邻边作矩形BCDE．将△ADE沿直线DE翻折.使点A落在点F处．设矩形BCDE与△ADF重叠部分的面积为S.线段DE的长为x．(1)线段EF的长为x．(2)当矩形BCDE为正方形.求x的值．(3)求S与x之间的函数关系式．(4)若线段DF把矩形BCDE分成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，∠A=45°，AB=30，点E在线段AB上运动，过点E作DE⊥AB，交AG于点D．以DE、EB为邻边作矩形BCDE．将△ADE沿直线DE翻折，使点A落在点F处．设矩形BCDE与△ADF重叠部分的面积为S，线段DE的长为x（0＜x＜30）．
（1）线段EF的长为x．（用含x的代数式表示）
（2）当矩形BCDE为正方形，求x的值．
（3）求S与x之间的函数关系式．
（4）若线段DF把矩形BCDE分成面积比为1：3的两部分，直接写出此时x的值．

分析（1）由折叠和∠A=45°得：△AED是等腰直角三角形，所以AE=EF=ED=x；
（2）由正方形的边长相等得：DE=BE，得：x=30-x，解出即可；
（3）分两种情况：
①当0＜x≤15时，矩形BCDE与△ADF重叠部分的面积就是△DEF的面积，
②当15＜x＜30时，如图2，矩形BCDE与△ADF重叠部分的面积就是梯形DEBH的面积，
代入面积公式求解即可；
（4）分四种情况：再图1和图2中分别将矩形分割的比为1：3或3：1时，分别代入面积公式列等式即可求出相应的x的值，注意0＜x＜30．

解答解：（1）如图1，由折叠得：AE=EF，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE=EF=x；
故答案为：x；
（2）当矩形BCDE为正方形时，DE=BE，
∴x=30-x，
x=15；
（3）分两种情况：
①当0＜x≤15时，如图1，由图可知：矩形BCDE与△ADF重叠部分的面积就是△DEF的面积，
∵△DEF是将△ADE沿直线DE翻折所得的直角三角形，
∴S=S_△DEF=$\frac{1}{2}$DE•EF=$\frac{1}{2}{x}^{2}$；
②当15＜x＜30时，如图2，矩形BCDE与△ADF重叠部分的面积就是梯形DEBH的面积，
由折叠得：∠A=∠DFA=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=BF=2x-30，
∴BE=x-BF=x-（2x-30）=30-x，
∴S=S_梯形DEBH=$\frac{1}{2}$BE（BH+DE）=$\frac{1}{2}$（30-x）（2x-30）=-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+60x-450，
综上所述，S与x之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤15）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+60x-450（15＜x＜30）}\end{array}\right.$．

4）分四种情况：
①如图1，当0＜x≤15时，当S_△DEF：S_{四边形DFBC}=1：3时，即S_△DEF：S_矩形DEBC=1：4，
∴S_矩形DEBC=4S_△DEF，
x（30-x）=4×$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
x²-10x=0，
x（x-10）=0，
x₁=0（舍），x₂=10；
②如图1，当0＜x≤15时，若S_△DEF：S_{四边形DFBC}=3：1时，即S_△DEF：S_矩形DEBC=3：4，
∴3S_矩形DEBC=4S_△DEF，
3x（30-x）=4×$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
90x-3x²=2x²，
5x²-90x=0，
x²-18x=0，
x（x-18）=0，
x₁=0（舍），x₂=18（舍）；
③如图2，当15＜x＜30时，若S_△DCH：S_{四边形DEBH}=1：3，即S_△DCH：S_矩形DEBC=1：4，
∴S_矩形DEBC=4S_△DCH，
∴x（30-x）=4×$\frac{1}{2}$（30-x）（30-x），
x（30-x）=2（30-x）²，
x₁=30（舍），x₂=20，
④如图2，当15＜x＜30时，若S_△DCH：S_{四边形DEBH}=3：1，即S_△DCH：S_矩形DEBC=3：4，
∴3S_矩形DEBC=4S_△DCH，
∴3x（30-x）=4×$\frac{1}{2}$（30-x）（30-x），
2（30-x）²-3x（30-x）=0，
（30-x）（60-5x）=0，
x₁=30（舍），x₂=12（舍），
答：此时x的值是10或20．

点评本题是四边形的综合题，考查了矩形、正方形、等腰直角三角形的性质、折叠的性质及面积的求法，明确等腰直角三角形的两直角边相等，且两锐角都是45°，同时利用数形结合的思想，观察重叠部分的图形，确定其面积的求法；本题难度适中，属于中考常考题型．

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