Question

【题目】在中，，，点为的中点，，分别在，上，且现有以下四个结论：

①；②；③四边形的面积为4；

④的面积最大为3.其中正确的结论有（ ）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质、三角形的面积公式可以分别判断出题目中的各个小题是否成立，从而可以解答本题．

解：连接DC，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，

∴CD=AB=AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°，

在△CDN和△BDM中，

，

∴△CDN≌△BDM（SAS），

∴∠NDC=∠MDB，DN=DM，故①正确，

∵∠CDM+∠MDB=∠CDB=90，

∴∠NDC+∠CDM=90°，

即∠NDM=90°，故②正确，

∵四边形CMDN的面积等于△NDC与△CDM的面积之和，

∴四边形CMDN的面积等于△MDB与△CDM的面积之和，

∴四边形CMDN的面积是：CACB×=×4×4×＝4，故③正确，

设CM=x，则BM=4x，CN=4x，

∴△CMN的面积是：，

∵0＜x＜4，

∴当x=2时，△CMN的面积取得最大值，此时△CMN的面积是2，故④错误；

∴正确的结论有：①②③；

故选：B.