Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AEAB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（ ）
A.①③⑤
B.②④⑤
C.①②⑤
D.①③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵在⊙O中，点C是 的中点， ∴ = ，
∴∠CAD=∠ABC，故①正确；
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴AD≠BC，故②错误；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C为 的中点，
∴ = ，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根据射影定理，可得AC2=AEAB，故④正确；
如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
所以答案是：D．


【考点精析】关于本题考查的垂径定理和圆周角定理，需要了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能得出正确答案．