【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1.
(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标;
(2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M,N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒,当t为何值时,四边形OMPN为矩形.
【答案】(1)y=-x2+2x+3,B点坐标为(3,0).(2)t的值为1.
【解析】
(1)根据对称轴求出b的值,把A点坐标代入求出c的值即可;(2)根据矩形性质得ON=PM,列方程求出t的值即可.
(1)因为抛物线y=-x2+bx+c对称轴是直线x=1,
所以-=1,
解得b=2.
因为抛物线过A(0,3),
所以c=3.
所以抛物线解析式为y=-x2+2x+3.
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3.
所以B点坐标为(3,0).
(2)由题意可知ON=3t,OM=2t,
因为P在抛物线上,
所以P(2t,-4t2+4t+3).
因为四边形OMPN为矩形,
所以ON=PM.
所以3t=-4t2+4t+3.
解得t1=1或t2=-(不合题意,舍去),
所以当t的值为1时,四边形OMPN为矩形.
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)连接EF,求证:AD垂直平分EF.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,且OA=1,OB=3,顶点为D,对称轴交x轴于点Q.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知,如图,四边形 ABCD,∠A=∠B=Rt∠.
(1)尺规作图,在线段 AB上找一点 E,使得 EC=ED,连接 EC, ED(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)在图形中,若∠ADE=∠BEC,且CE=3,BC=,求 AD的长.
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【题目】某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元.设矩形一边长为x,面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)设计费能达到24000元吗?为什么?
(3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元?
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【题目】已知:如图,在中,,点分别是直线上一个动点。
(1)若是等腰三角形,用直尺和圆规作出点(不写作法,保留作图痕迹),直接写出的长;
(2)若,求的长。
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【题目】已知关于x的方程3x2-(a-3)x-a=0(a>0).
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根大于2,求a的取值范围.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0),下列结论:①ab<0,②b2>4,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0.其中正确结论是___________.
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