Question

11．如图1，一次函数y=kx-3（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交于点B（4，b）．
（1）b=1；k=1；
（2）点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D，求△OCD面积的最大值；
（3）将（2）中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上（如图2），则点D′的坐标是（$\frac{7}{2}$，$\frac{14}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出b值，进而得出点B的坐标，再将点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k值；
（2）设C（m，m-3）（0＜m＜4），则D（m，$\frac{4}{m}$），根据三角形的面积即可得出S_△OCD关于m的函数关系式，通过配方即可得出△OCD面积的最大值；
（3）由（1）（2）可知一次函数的解析式以及点C、D的坐标，设点C′（a，a-3），根据平移的性质找出点O′、D′的坐标，由点O′在反比例函数图象上即可得出关于a的方程，解方程求出a的值，将其代入点D′的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）把B（4，b）代入y=$\frac{4}{x}$（x＞0）中得：b=$\frac{4}{4}$=1，
∴B（4，1），
把B（4，1）代入y=kx-3得：1=4k-3，解得：k=1，
故答案为：1，1；
（2）设C（m，m-3）（0＜m＜4），则D（m，$\frac{4}{m}$），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$m（$\frac{4}{m}$-m+3）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{25}{8}$，
∵0＜m＜4，-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，△OCD面积取最大值，最大值为$\frac{25}{8}$；
（3）由（1）知一次函数的解析式为y=x-3，
由（2）知C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）、D（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$）．
设C′（a，a-3），则O′（a-$\frac{3}{2}$，a-$\frac{3}{2}$），D′（a，a+$\frac{7}{6}$），
∵点O′在反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，
∴a-$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{a-\frac{3}{2}}$，解得：a=$\frac{7}{2}$或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
经检验a=$\frac{7}{2}$是方程a-$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{a-\frac{3}{2}}$的解．
∴点D′的坐标是（$\frac{7}{2}$，$\frac{14}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）找出S_△OCD关于m的函数关系式；（3）找出关于a的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的性质找出平移后点的坐标是关键．