练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    7．如图，抛物线y=a（x-1）2+k过坐标原点，顶点为B，交x轴于另一点A，且△OAB为等腰直角三角形．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若M为y轴负半轴上一点，过点M分别作直线MC，MD，且MC，MD都与抛物线有且只有一个公共点，点C，D均在抛物线上．
    ①探究：若M点的坐标为（0，-1），求N点的坐标；
    ②猜想：当M点在y轴负半轴上运动时，线段OM与ON相等吗？试取M（0，-t2）证明你的结论．

    分析 （1）由题意可知B（1，-1），A（2，0），利用待定系数法即可解决问题．
    （2）①设过点M的直线的解析式为y=kx-1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x2-（2+k）x+1=0，根据△=0时求得k=-4或0，再求出C、D两点坐标即可解决问题．
    ②结论：OM=ON．设M（0，-t2），过点M的直线的解析式为y=kx-t2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x2-（2+k）x+t2=0，由题意△=0时，（2+k）2-4t2=0，
    解得k=2t-2或-2t-2，再求出C、D两点坐标，根据对称性即可解决问题．

    解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+k过坐标原点，顶点为B，交x轴于另一点A，且△OAB为等腰直角三角形，
    ∴对称轴x=1，A（2，0），B（1，-1），
    ∴k=-1，
    ∴抛物线的解析式为y=a（x-1）2-1，把A（2，0）代入得a=1，
    ∴抛物线的解析式为y=x2-2x．

    （2）①设过点M的直线的解析式为y=kx-1，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，消去y得到x2-（2+k）x+1=0，
    由题意△=0时，（2+k）2-4=0，解得k=-4或0，
    k=-4时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
    ∴C（-1，3），
    k=0时，直线DM∥x轴，D（1，-1），
    ∵C（-1，3），D（1，-1），
    ∴点N是线段CD的中点，N（0，1）．

    ②结论：OM=ON．
    理由：设M（0，-t2），过点M的直线的解析式为y=kx-t2，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x2-（2+k）x+t2=0，
    由题意△=0时，（2+k）2-4t2=0，
    解得k=2t-2或-2t-2，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=（2t-2）x-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-2t}\end{array}\right.$，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=（-2t-2）x-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y={t}^{2}+2t}\end{array}\right.$，
    不妨设C（t，t2-2t），D（-t，t2+2t），
    ∵C、D两点的横坐标互为相反数，
    ∴NC=ND，
    ∴N（0，t2），
    ∴OM=ON=t2，
    ∴OM=ON．

    点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是把两个函数图象的交点问题，转化为一元二次方程的根的个数问题，利用根的判别式解决交点个数问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    17．在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A=30°，∠BCE=50°，则∠B=（　　）
    A．60°B．70°C．80°D．50°

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
    （1）求反比例函数的表达式；
    （2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，并写出证明．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    15．如果-2xmy3与$\frac{1}{2}$x2yn是同类项，那么m-n的值为1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．计算题：
    （1）-5+（+21）-（-79）-15
    （2）2（m-3n）-（-3m-2n）
    （3）-（$\frac{5}{9}$-$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{18}$）÷$\frac{1}{36}$
    （4）-$\frac{2}{3}$÷[-32×（-$\frac{2}{3}$）2+2]×（-1）2016．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）
    A．∠A=∠DB．BE=FCC．∠ACB=∠FD．AC=DF

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3），△AOB关于y轴对称的图形为△A1OB1．
    （1）画出△A1OB1并写出点B1的坐标为（-1，3）；
    （2）写出△A1OB1的面积为3.5；
    （3）点P在x轴上，使△POB是等腰三角形，满足条件的点P共有4个．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．（1）12-（-18）+（-7）-15
    （2）-22+3×（-1）4-（-4）×5
    （3）3x2+6x+5-4x2+7x-6
    （4）5（3a2b-ab2）-（ab2+3a2b）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    17．在图①所标注的6个角中共有，1对同位角，3对内错角，4对同旁内角，在图②中共有3对同旁内角．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案