【题目】数学活动课上,某学习小组对有一内角(∠BAD)为120°的平行四边形ABCD,将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)类比发现
如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;
(3)深入探究:在(2)的条件下,学习小组某成员探究发现AE+2AF= AC,试判断结论是否正确,并说明理由.
【答案】
(1)
①证明:如图1中,
∵四边形ABCD 是平行四边形,∠BAD=120°,
∴∠D=∠B=60°,
∵AD=AB,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,
∵∠BCF=60°,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°,
∴∠BCE=∠ACF,
在△BCE和△ACF中,
,
∴△BCE≌△ACF.
②如图1中,
∵△BCE≌△ACF,
∴BE=AF,
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.
∴AE+AF=AC.
(2)
证明:如图2中,
设DH=x,由题意CD=2x,CH= x.
∴AD=2AB=4x,AH=AD﹣DH=3x,
∵CH⊥AD,
∴AC= =2 x,
∴AC2+CD2=16x2,AD2=16x2,
∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°,
∴∠BAC=∠ACD=90°,
∴∠CAD=30°,
∴∠ACH=60°,
∵∠ECF=60°=∠ACH,
∴∠HCF=∠ACE,
∴△ACE∽△HCF,
∴ = =2,
∴AE=2FH.
(3)
结论正确.
理由:如图2中,由(2)可知,设FH=α,则AE=2a,设AH=x,则AH=3x,
易知AC=2 x,
∴AF=3x﹣a,
∴AE+2AF=2a+2(3x﹣a)=6x= AC.
【解析】(1)①首先证明△ABC,△ACD都是等边三角形,根据ASA即可证明.②利用①中结论,即可证明.(2)首先利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形,再证明△ACE∽△HCF,即可推出 = =2.(3)利用代数法证明,如图2中,由(2)可知,设FH=α,则AE=2a,设AH=x,则AH=3x,易知AC=2 x,AF=3x﹣a,即可得出AE+2AF=2a+2(3x﹣a)=6x= AC.
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用,需要了解测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解才能得出正确答案.
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【题目】为了合理利用电力资源,缓解用电紧张状况,我国电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(见下表).
用电时间段 | 收费标准 | |
峰电 | 08:00—22:00 | 0.56元/千瓦时 |
谷电 | 22:00—08:00 | 0.28元/千瓦时 |
已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时,缴电费43.40元,问王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时?设王老师家4月份“峰电”用了x千瓦时,“谷电”用了y千瓦时,根据题意,列方程组得_____.
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【题目】如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于( )
A. 2 B. 3 C. D.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB、BD为邻边作ABDE,连接AD、EC.
(1)试说明:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,试说明:四边形ADCE是矩形.
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【题目】如图的数阵是由88个偶数组成:
(1)观察数阵中平行四边形框内的四个数之间的关系,在数阵中任意作一个相同的平行四边形框圈出四个数,设其中最小的数为x,那么其他三个数怎样表示?
(2)甲同学这样圈出的四个数的和为432,你能求出这四个数吗?
(3)乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数,可能吗?
(4)你能用这样的框圈出和为352的四个数吗?若能,请写出这四个数;若不能,请说明理由.
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【题目】小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后,分别进行了如下数学探究:把一根铁丝截成两段,
探究1:小明截成了两根长度不同的铁丝,并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形,已知两正方形的边长和为20cm,它们的面积的差为40cm2,则这两个正方形的边长差为 .
探究2:小红截成了两根长度相同的铁丝,并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形,若长方形的长为xm,宽为ym,
(1)用含x、y的代数式表示正方形的边长为 ;
(2)设长方形的长大于宽,比较正方形与长方形面积哪个大,并说明理由.
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【题目】如图,∠CAB=∠DAB下列条件中不能使△ABC≌△ABD的是( )
A. ∠C=∠D B. ∠ABC=∠ABD C. AC=AD D. BC=BD
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【题目】如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E.
(1)求证:BE2=EGEA;
(2)连接CG,若BE=CE,求证:∠ECG=∠EAC.
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