Question

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
【小题1】求拋物线的函数表达式
【小题2】如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m>0)。
j当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
k在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
l当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

p;【答案】
【小题1】
【小题2】j P（8，12）k8﹣16＜m＜8l当n=7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点解析:
（1）把E（0，16）、F（16，0）坐标代入到抛物线方程中，

解得
拋物线的函数表达式为：
（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG=，OF=×16=8，
即P点的横坐标为8，
∵P点在抛物线上，
∵m＞0，
∴y=，
即P点的纵坐标为12，
∴P（8，12），
∵P点的纵坐标为12，正方ABCD边长是16，
∴Q点的纵坐标为﹣4，
∵Q点在抛物线上，
∴，
∴，
∵m＞0，∴∴，
∴．
②8﹣16＜m＜8．
③不存在．
理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，
∵P点在抛物线上，
∴，
∴x₁=12，x₂=﹣12，
∵m＞0
∴x₂=﹣12（舍去）
∴x=12
∴P点坐标为（12，7）
∵P为AB中点，∴，
∴点A的坐标是（4，7），
∴m=4，
又∵正方形ABCD边长是16，
∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，﹣9），
∴点Q的纵坐标为﹣9，
∵Q点在抛物线上，
∴，
∴x₁=20，x₂=﹣20，
∵m＞0，
∴x₂=﹣20（舍去）
∴x=20，
∴Q点坐标（20，﹣9），
∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，
∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点．