Question

【题目】疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如下表所示：

	进价（元/个）	售价（元/个）	销量（个/日）
A型	400	600	200
B型	800	1200	400

根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．

（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；

（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据“总利润=A型手写板利润+B型手写板利润”即可确定函数解析式；根据600-400-5x≥0，1200-800+5x≥0即可确定自变量取值范围；

（2）把y＝212000，代入函数解析式求出x值，根据函数增减性结合（1）自变量取值，即可求出x的取值；

（3）设捐款后每天的利润为w元，则w=-10x2+800x+200000-(400-x)a，即可得到w与x的关系式，确定对称轴为，结合确定对称轴取值范围，结合抛物线的性质即可求出当x＝40时，w最大，进而求出a．

解：（1）由题意得，y＝(600-400-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x)

＝-10x2+800x+200000，(0≤x≤40且x为整数)

(写0＜x≤40且x为整数，不扣分)

（2）x的取值范围为20≤x≤40．

理由如下：y＝-10x2+800x+200000＝-10(x-40)2+216000，

当y＝212000时，-10(x-40)2+216000＝212000，

(x-40)2＝4000，x-40＝±20，

解得：x＝20或x＝60．

要使y≥212000，

得20≤x≤60；

∵0≤x≤40，

∴20≤x≤40；

（3）设捐款后每天的利润为w元，则

w＝-10x2+800x+200000-(400-x)a=-10x2+(800+a)x+200000-400a，

对称轴为，

∵0＜a≤100，

∴，

∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，

当x＝40时，w最大，

∴-16000+40（800+a）+200000-400a＝203400，

解得a＝35．