Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）AD与CF的关系是AD=CF；
（3）求证：△ACF是等腰三角形；
（4）△ACF可能是等边三角形吗？不可能（填“可能”或“不可能”）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CBA=∠CAB=45°，根据平行线的性质得到∠FBE=∠CAB=45°，根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质定理得到答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到AD=AF，等量代换即可；
（4）根据直角三角形的直角边小于斜边解答．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠CAB=45°，
∴∠CBF=90°，又DE⊥AB，
∴∠FDB=45°，
∴∠DFB=45°，
∴BD=BF，又D为BC中点，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BF}\\{∠ACD=∠CBF}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF；
（2）∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
故答案为：AC=BF；
（3）连接AF，
∵DF⊥AE，DE=EF，
∴AD=AF，
∵AD=CF，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形；
（4）在Rt△ACD中，AC＜AD，
∴AC＜AF，
∴△ACF不可能是等边三角形，
故答案为：不可能．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．