Question

15．已知方程x²+mx+n=0 的两根是直角三角形的两个锐角的余弦．
（1）求证：m²=2n+1；
（2）若P（m，n）是一次函数y=$\sqrt{2}$x-$\frac{3}{2}$图象上的点，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程根与系数的关系结合cosB=sinA，和sin²A+cosA²=1，整理可证得结论；
（2）把P点坐标代入函数解析式，结合（1）的结论，可求得m、n的值，可求得P点坐标．

解答 （1）证明：
设在△ABC中，∠C=90°，
∵cosA、cosB是方程x²+mx+n=0 的两根，
∴cosA+cosB=-m，cosAcosB=n，
∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∴cosA+sinA=-m，cosAsinA=n
∵sin²A+cos²A=1，
∴（cosA+sinA）²=cos²A+2cosAsniA+sin²A，
∴m²=2n+1；
（2）解：
∵P（m，n）是一次函数y=$\sqrt{2}$x-$\frac{3}{2}$图象上的点，
∴n=$\sqrt{2}$m-$\frac{3}{2}$①，
又由（1）可得m²=2n+1②，
把①代入②整理可得m²-2$\sqrt{2}$m+1=0，即（m-$\sqrt{2}$）²=0，
∴m=$\sqrt{2}$，代入①可求得n=$\frac{1}{2}$，
∴点P坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查三角函数和函数图象上点的坐标特征，掌握三角函数之间的关系及函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键..