Question

12．如图，AB是⊙O的直径切AB=8，CD是弦，CD交AB于E，且E为OA的中点，∠BED=45°，
（1）求CE²+DE²的值；
（2）若E不是AO的中点，CE²+DE²的值是否发生变化？若不变，求其值；若变，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥CD于F，连结OD，如图，根据垂径定理得到CF=DF，易得OE=2，在Rt△OEF中利用等腰直角三角形的性质得OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\sqrt{2}$，再利用勾股定理得DF=$\sqrt{14}$，则CF=$\sqrt{14}$，所以CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=32；
（2）设OE=a，与（1）一样可得OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，则DF=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，CF=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，所以CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=32．

解答 解：（1）作OF⊥CD于F，连结OD，如图，则CF=DF，
∵AB=8，E为OA的中点，
∴OE=2，
在Rt△OEF中，∵∠BED=45°，
∴OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\sqrt{2}$，
在Rt△ODF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴CF=$\sqrt{14}$，
∴CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=2×14+2×2=32；
（2）CE²+DE²的值不发生变化．
设OE=a，则OF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△ODF中，DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$
∴CF=$\sqrt{16-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
∴CE²+DE²=（CF-EF）²+（DF+EF）²=2CF²+2EF²=2×（16-$\frac{1}{2}$a²）+2×$\frac{1}{2}$a²=32．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．