Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF＝∠ABC．

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接BD，由AD⊥AB可知BD必过点O 　　∴BF相切于⊙O，∴∠ABD十∠ABF＝90° 　　∵AD⊥AB，∴∠ABD＋∠ADB＝90°，∴∠ABF＝∠ADB　3分 　　∵∠ABC＝∠ABF，∴∠ABC＝∠ADB 　　又∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝＝∠ACB，∴AB＝AC　5分 　　(2)在Rt△ABD中，∠BAD＝90° 　　cos∠ADB＝，∴BD＝＝＝＝5　6分 　　∴AB＝3　7分 　　在Rt△ABE中，∠BAE＝90° 　　Cos∠ABE＝，∴BE＝＝＝ 　　∴AE＝＝　9分 　　∴DE＝AD－AE＝4－＝　10分