Question

（7分）已知：如图所示，在和中，，，，且点在同一条直线上，连接分别为的中点, 连接．

（1）求证：； (4分)

（2）求证：是等腰三角形.（3分）

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD；

（2）∵M、N分别为BE、CD的中点，且BE=CD，∴ME=ND，∵△ABE≌△ACD，∴∠AEM=∠ADC，AE=AD，在△AEM和△ADN中，，∴△AEM≌△ADN（SAS），∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

【解析】

（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出△ABE与△ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD；

（2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由△ABE与△ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出△AME与△AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．