Question

如图，等边三角形ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与三角形ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E．
（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长；
（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置；如不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作PF⊥BC，在直角△BPF中，利用勾股定理即可得到关于x，y的方程，即可写出函数关系式；
（2）证明△CEQ∽△CBP，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）由△ABQ≌△CAP，易证得∠CEQ=∠B=60°，即可得AQ和CP不可能互相垂直．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，（1分）
作PF⊥BC于F（1分）
∵AP=x，BP=3-x，
∴BF=

1

2

（3-x），PF=

3

2

（3-x），CF=

1

2

（3+x），
∴CP²=PF²+CF²
∴y=

x2-3x+9

，0＜x＜3；（1分）

（2）∵AP=BQ，
∴AB=AC，∠B=∠BAC，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠PCA，（2分）
∠BPC=∠BAC+∠PAC，∠EQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BPC=∠EQC，（1分）
∵∠PCB=∠QCE，
∴△CEQ∽△CBP，（1分）
∴

S△CEQ

S△CBP

=(

CQ

CP

)2=

1

2

，
∴

x2-6x+9

x2-3x+9

=

1

2

，（1分）
∴x=

9+3 5

2

（舍），x=

9-3 5

2

，
AP的长为

9-3 5

2

；

（3）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠APC=∠AQB，
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CEQ=∠B=60°，
∴AQ和CP不可能互相垂直．（2分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．