Question

15．如图，已知△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF∥AC，又知∠ACB=∠BDC=60°，AC=$\sqrt{3}$cm．
（1）请探究EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求⊙O的周长．

Answer 1

分析 （1）延长BO交AC于H，如图，先证明△ABC为等边三角形，利用点O为△ABC的外心得到BH⊥AC，由于AC∥EF，所以BH⊥EF，于是根据切线的判定定理即可得到EF为⊙O的切线；
（2）连结OA，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH=30°，AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再在Rt△AOH中，利用三角函数和计算出OA=1，然后根据圆的周长公式计算．

解答 解：（1）EF与⊙O相切．理由如下：
延长BO交AC于H，如图，
∵∠BAC=∠BDC=60°，
而∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点O为△ABC的外心，
∴BH⊥AC，
∵AC∥EF，
∴BH⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）连结OA，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴OA平分∠ABC，
∴∠OAH=30°，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AOH中，∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{cos30°}$=1，
∴⊙O的周长=2π×1=2π（cm）．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．