Question

如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1，0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，连接CP，∠APC=60度．
（1）求⊙P的半径R；
（2）求A、B、D三点坐标；
（3）若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M，交y轴于N，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析：（1）由图可知⊙P的半径就是CP的长，直角三角形OPC中，有P点的坐标，也就有了PO的长，又已知了∠OPC的度数，因此根据三角形函数的知识可以求出CP的长．
（2）有了圆心P的坐标，有了半径的长，就有了AP，PB的长．根据P的坐标我们可以知道OP的长，那么OA和OB的长就可以求出来了，据此可得出A、B的坐标，在直角三角形OCP中，有OP，PC的长，那么OC的长可以根据勾股定理求出，根据垂径定理，OD=OC，因此D点的坐标也就求出来了．
（3）本题的关键是求出ON，OM的长，连接PQ后，根据Q是BC弧的中点，那么∠CPQ=∠MPQ=60°，因此∠PMQ=30°，MP=2R，（1）中已经求出了R的值，那么MP的值就能求出来了，有P点的坐标，因此可以得出OP的值进而求出OM的长，直角三角形OMN中，∠OMN=30°，MN=2ON，又知道了OM的长，可以根据勾股定理求出ON的长，有了OM，ON的长，M，N的坐标就可以确定，根据M、N的坐标用待定系数法就能求出MN所在直线的解析式．

解答：解：（1）在Rt△POC中，∠APC=60°，
∴∠PCO=30°，PC=2PO=2，
∴⊙P的半径R是2．

（2）∵AP=BP=2，OA=PA-PO=2-1=1，
∴A（-1，0）、B（3，0），
∵DO=CO=

PC2-OP2

=

22-1

=

3

，
∴D（0，-

3

）．

（3）连接PQ，
∵Q是

BC

的中点，∠APC=60°，∴∠CPQ=∠BPQ=60°．
∵MN切⊙P于Q，
∴PQ⊥MN．
在Rt△PQM中，∠PMQ=30°PM=2PQ=4，
在Rt△MNO中，MN=2ON，
∵MN²=ON²+OM²
∴（2ON）²=ON²+5²得ON=

5 3

3

，
∴M（5，0），N（0，

5 3

3

），
设直线MN的解析式为y=kx+b，
得方程组是：

5k+b=0 b= 5 3 3

，
解这个方程组得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直线MN的解析式是：y=-

3

3

x+

5 3

3

．

点评：本题考查了直角三角形，圆与一次函数的综合应用，本题中用直角三角形来求出坐标轴上的线段的长是解题的关键．