Question

14．如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k•AP（k＞0），联接PC、PQ．
（1）求⊙O的半径长；
（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠ACB=90°，然后利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，推出$\frac{PH}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$，推出$\frac{PH}{6}$=$\frac{10-x}{10}$，推出PH=$\frac{3}{5}$（10-x），根据y=$\frac{1}{2}$•CQ•PH计算即可．
（3）因为△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又因为∠CQP＞∠B，所以只有∠PCB=∠B，推出PC=PB，由∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，推出∠A=∠ACP，推出PA=PC=PB=5，由△COQ∽△BCA，推出$\frac{CO}{BC}$=$\frac{CQ}{AB}$，推出$\frac{5}{8}$=$\frac{8-5k}{10}$，即可解决问题．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的半径为5．

（2）如图2中，作PH⊥BC于H．

∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴$\frac{PH}{6}$=$\frac{10-x}{10}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（10-x），
∴y=$\frac{1}{2}$•CQ•PH=$\frac{1}{2}$•（8-2x）•$\frac{3}{5}$（10-x）=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{42}{5}$x+24（0＜x＜4）．

（3）如图2中，

∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，
又∵∠CQP＞∠B，
∴只有∠PCB=∠B，
∴PC=PB，
∵∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠A=∠ACP，
∴PA=PC=PB=5，
∴△COQ∽△BCA，
∴$\frac{CO}{BC}$=$\frac{CQ}{AB}$，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{8-5k}{10}$，
∴k=$\frac{7}{20}$．

点评 本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确应用相似三角形的性质解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．