Question

17．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$a，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD=$\sqrt{2}$a，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．

解答 解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$a，∠DCE=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=$\sqrt{2}$a，∠BCD=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△BEF中，tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$，
即tan∠EBC=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．