Question

我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设工艺厂销售该工艺品每天获得的利润为W，试求出W与x之间的函数关系．并求出自变量的取值范围．（利润=售价-成本）
（3）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），再把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b计算出k、b的值，即可算出函数解析式y=-10x+1000；
（2）根据利润=销量×利润可得W=y（x-20）=（-10x+1000）（x-20）；
（3）根据二次函数的性质可得当20＜x≤30时，w随x的增大而增大，再把x=30代入函数解析式即可算出答案．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b，得

22k+b=780 25k+b=750

，
解得

k=-10 b=1000

．
∴y与x的函数关系式为y=-10x+1000．

（2）设该工艺品每天获得的利润为W元，
则W=y（x-20）=（-10x+1000）（x-20）=-10（x-60）²+16000，（20≤x≤100）；

（3）∵-10＜0，
∴当20＜x≤30时，w随x的增大而增大．
所以当售价定为30元/件时，该工艺品每天获得的利润最大．
W_最大=-10（30-60）²+16000=7000元．
答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出利润W与x之间的关系式是解决问题的关键．