【题目】已知抛物线l:y=(x﹣h)2﹣4(h为常数)
(1)如图1,当抛物线l恰好经过点P(1,﹣4)时,l与x轴从左到右的交点为A、B,与y轴交于点C.
①求l的解析式,并写出l的对称轴及顶点坐标.
②在l上是否存在点D,使S△ABD=S△ABC , 若存在,请求出D点坐标,若不存在,请说明理由.
③点M是l上任意一点,过点M做ME垂直y轴于点E,交直线BC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点M的坐标.
(2)设l与双曲线y= 有个交点横坐标为x0 , 且满足3≤x0≤5,通过l位置随h变化的过程,直接写出h的取值范围.
【答案】
(1)
解:①将P(1,﹣4)代入得:(1﹣h)2﹣4=﹣4,解得h=1,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣1)2﹣4.
∴抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,﹣4).
②将x=0代入得:y=﹣3,
∴点C的坐标为(0,﹣3).
∴OC=3.
∵S△ABD=S△ABC,
∴点D的纵坐标为3或﹣3.
当y=﹣3时,(x﹣1)2﹣4=﹣3,解得x=2或x=0.
∴点D的坐标为(0,﹣3)或(2,﹣3).
当y=3时,(x﹣1)2﹣4=3,解得:x=1+ 或x=1﹣ .
∴点D的坐标为(1+ ,3)或(1﹣ ,3).
综上所述,点D的坐标为(0,﹣3)或(2,﹣3)或(1+ ,3)或(1﹣ ,3)时,S△ABD=S△ABC.
③如图1所示:
∵∠EOF=∠OED=∠OFD=90°,
∴四边形OEDF为矩形.
∴DO=EF.
依据垂线段的性质可知:当OD⊥BC时,OD有最小值,即EF有最小值.
把y=0代入抛物线的解析式得:(x﹣1)2﹣4=0,解得x=﹣1或x=3,
∴B(3,0).
∴OB=OC.
又∵OD⊥BC,
∴CD=BD.
∴点D的坐标( ,﹣ ).
将y=﹣ 代入得:(x﹣1)2﹣4=﹣ ,解得x=﹣ +1或x= +1.
∴点M的坐标为(﹣ +1,﹣ )或( +1,﹣ )
(2)
解:∵y=(x﹣h)2﹣4,
∴抛物线的顶点在直线y=﹣4上.
理由:对双曲线,当3≤x0≤5时,﹣3≤y0≤﹣ ,即L与双曲线在A(3,﹣3),B(5,﹣ )之间的一段有个交点.
当抛物线经过点A时,(3﹣h)2﹣4=﹣3,解得h=2或h=4.
当抛物线经过点B时,(5﹣h)2﹣4=﹣ ,解得:h=5+ 或h=5﹣ .
随h的逐渐增加,l的位置随向右平移,如图所示.
由函数图象可知:当2≤h≤5﹣ 或4≤h≤5+ 时,抛物线与双曲线在3≤x0≤5段有个交点
【解析】(1)①将P(1,﹣4)代入得到关于h的方程,从而可求得h的值,可得到抛物线的解析式,然后依据抛物线的解析式可直接得到抛物线的对称轴和顶点坐标;②先求得OC的长,然后由三角形的面积公式可得到点D的纵坐标为3或﹣3,最后将y的值代入求得对应的x的值即可;③先证明四边形OEDF为矩形,则DO=EF,由垂线的性质可知当OD⊥BC时,OD有最小值,即EF有最小值,然后由中点坐标公式可求得点D的坐标,然后可的点M的纵坐标,由函数的关系式可求得点M的横坐标;(2)抛物线y=(x﹣h)2﹣4的顶点在直线y=﹣4上,然后求得当x=3和x=5时,双曲线对应的函数值,得到点A和点B的坐标,然后分别求得当抛物线经过点A和点B时对应的h的值,然后画出平移后的图象,最后依据图象可得到答案.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小即可以解答此题.
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【题目】如图所示,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α, 以OC为边作等边三角形OCD,连接AD.
(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1,3,则下列结论正确的个数有( ) ①ac<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④对于任意x均有ax2+bx≥a+b.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】写字时一项主要基本功,也是素质教育的重要部分,为了了解我校学生的书写情况,随机对部分学生进行测试,测试结果分为四个等级:优秀、良好、合格、不合格;根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,回答以下问题:
(1)扇形统计图中,“合格”的百分比为;
(2)本次抽测不合格等级学生有人;
(3)随机抽取了5名等级为“优秀”的学生,其中有3名女生,2名男生,现从这5名学生中任意抽取2名学生,求刚好抽到同性别学生的概率;
(4)若该校共有2000名学生,估计该校书写“不合格”等级学生约有多少人?
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1,3),B(n,﹣1)两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.一个游戏中奖的概率是 ,则做100次这样的游戏一定会中奖
B.为了了解全国中学生的心理健康状况,应采用普查的方式
C.一组数据0,1,2,1,1的众数和中位数都是1
D.若甲组数据的方差S甲2=0.2,乙组数据的方差S乙2=0.5,则乙组数据比甲组数据稳定
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【题目】如图是某市某月1日至10日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市,并连续停留3天.则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量重度污染的概率是( )
A. B. C. D.
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