Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，D在线段BC上，△ACD的面积为9，求证：AD是△ABC的角平分线．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，利用△ABC的面积列方程求出DE，再根据△ACD的面积求出CD，从而得到CD=DE，然后根据到角的两边距离的点在角的平分线证明．

解答 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$×6×8=9+$\frac{1}{2}$×10×DE，
解得DE=3，
又∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×6×CD=9，
∴CD=3，
∴CD=DE，
又∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴AD是△ABC的角平分线．

点评 本题考查了到角的两边距离的点在角的平分线上的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于作辅助线并根据线段的长度确定出相等的线段．