Question

15．已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D为平面内的任意一点，且满足CD=AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为45°或135°．

Answer 1

分析 当△ADB是以AD为腰的等腰三角形，可以分两种情况进行讨论：①AD=AB，②AD=BD；
①当AD=AB时，又分两种情况：
当点D在AC边上方时，如图1所示．由△ACD为等边三角形，得∠CAD=60°，根据角的关系可得结论；
当点D在AC边下方时，如图2所示．同理可得结论；
②当AD=BD时又分两种情况：
当点D在BC的上方，如图3所示．作辅助线，证明∠EDA=∠ADC，根据角平分线的性质得：AF=AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，利用直角三角形30°角的判定得：Rt△AFC中，∠ACF=30°，从而得出结论；
当D在BC的下方时，如图4，同理构建矩形AEFC，由CF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$CD，得Rt△CFD中，∠CDF=30°，可得结论．

解答 解：①当AD=AB时，
∵AB=AC，CD=AC，AD=AB，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD为等边三角形．
当点D在AC边上方时，如图1所示．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，△ACD为等边三角形，
∴∠BAC=90°，∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=15°，
∴∠CDB=∠ADC-∠ADB=60°-15°=45°；
当点D在AC边下方时，如图2所示．
∵∠BAC=90°，∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=75°，
∴∠CDB=∠ADB+∠ADC=75°+60°=135°．
②当AD=BD时，
当点D在BC的上方，如图3所示．
过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥CD于F，
∴∠BED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BED=∠BAC，
∴ED∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ADC=∠DAC，
∴∠EDA=∠ADC，
∴AF=AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
Rt△AFC中，∠ACF=30°，
∴∠ADC=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ADB=2∠ADE=2∠ADC=150°，
∴∠CDB=360°-150°-75°=135°；
当D在BC的下方时，如图4，
过D作DE⊥AC于E，过C作CF⊥ED于F，
∴∠AEF=∠BAC=∠EFC=90°，
∴四边形AEFC是矩形，
∴CF=AE，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，∠ADE=∠BDE，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$CD，
Rt△CFD中，∠CDF=30°，
∵AC∥ED，
∴∠CAD=∠ADE，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠CDA=∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDF=15°，
∴∠ADB=30°，
∴∠CDB=45°．
综上所述，则∠CDB的度数为45°或135°；
故答案为：45°或135°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、角平分线的性质、中垂线的性质以及直角三角形30°的判定，本题多解，要注意不要丢解，采用了分类讨论的思想，并利用数形结合，有一定难度．