Question

7．关于x的方程（k-1）x²+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x₁，x₂是方程（k-1）x²+2kx+2=0的两个根，记S=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$$+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+x₁+x₂，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）由韦达定理得x₁+x₂=-$\frac{2k}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{2}{k-1}$，代入到$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$$+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+x₁+x₂=2中，可求得k的值．

解答 解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=-1，此时该方程有实根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）²-4（k-1）×2
=4k²-8k+8
=4（k-1）²+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．

（2）由根与系数关系可知，x₁+x₂=-$\frac{2k}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{2}{k-1}$，
若S=2，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$$+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+x₁+x₂=2，即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+x₁+x₂=2，
将x₁+x₂、x₁x₂代入整理得：k²-3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．

点评 本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．