Question

10．如图1，已知正方形ABCD边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ．设AP=x．

（1）BQ+DQ的最小值是$\sqrt{2}$，此时x的值是$\sqrt{2}$-1；
（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于E，并且∠CQD=90°．
①求证：QE﹦EC；    
②求x的值．
（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．

Answer 1

分析 （1）BQ+DQ为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为$\sqrt{2}$．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AP=x，则PD=1-x，PQ=x．又∠PDQ=45°，所以PD=$\sqrt{2}$PQ，即1-x=$\sqrt{2}$x．求解可得x=$\sqrt{2}$-1．
（2）①由已知条件对称分析，AB=BQ=BC，则∠BCQ=∠BQC，由∠BQE=∠BCE=90°，可得∠EQC=∠ECQ即可．
②通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形PDE，发现PE，DE，PD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可．
（3）若△CDQ为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又Q点为A点关于PB的对称点，则AB=QB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则Q点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点．则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可

解答 解：（1）连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为$\sqrt{2}$，
由AP=x，则PD=1-x，PQ=x．
∵∠PDQ=45°，
∴PD=$\sqrt{2}$PQ，即1-x=$\sqrt{2}$x．
∴x=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1
（2）①证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
②解：∵AP=x，AD=1，
∴PD=1-x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E为CD的中点，
∴DE=QE=CE=$\frac{1}{2}$，
∴PE=PQ+QE=x+$\frac{1}{2}$，
∴$（x+\frac{1}{2}）^{2}=（1-x）^{2}+\frac{1}{4}$，
解得 x=$\frac{1}{3}$．

（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2+$\sqrt{3}$．
如图1，

以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q₁，Q₃．
此时△CDQ₁，△CDQ₃都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q₂，此时△CDQ₂以CD为底的等腰三角形．

①如图2，连接BQ₁、CQ₁，作PQ₁⊥BQ₁交AD于P，过点Q₁，作EF⊥AD于E，交BC于F．
∵△BCQ₁为等边三角形，正方形ABCD边长为1，
∴Q₁F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$Q₁E=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
在四边形ABPQ₁中，
∵∠ABQ₁=30°，
∴∠APQ₁=150°，
∴△PEQ₁为含30°的直角三角形，
∴PE=$\sqrt{3}$Q₁E=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$．
∵AE=$\frac{1}{2}$，
∴x=AP=AE-PE=2-$\sqrt{3}$．

②如图3，连接BQ₂，AQ₂，过点Q₂作PG⊥BQ₂，交AD于P，连接BP，过点Q₂作EF⊥CD于E，交AB于F．
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ₂=BQ₂．
∵AB=BQ₂，
∴△ABQ₂为等边三角形．
在四边形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ₂=60°，
∴∠APE=120°
∴∠EQ₂G=∠DPG=180°-120°=60°，
∴Q2E=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴EG=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$，
∴DG=DE+GE=$\sqrt{3}$-1，
∴PD=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x=AP=1-PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

③如图4，连接BQ₁，CQ₁，BQ₃，CQ₃，过点Q₃作BQ₃⊥PQ₃，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q₁，作EF⊥AD于E，此时Q₃在EF上，不妨记Q₃与F重合．
∵△BCQ₁为等边三角形，△BCQ₃为等边三角形，BC=1，
∴Q1Q2=$\sqrt{3}$，Q1E=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
在四边形ABQ₃P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ₃=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP=$\sqrt{3}$EF=$\frac{2\sqrt{3}+3}{2}$．
∵AE=$\frac{1}{2}$，
∴x=AP=AE+PE=$\sqrt{3}$+2．
综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2+$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，对称性，画出图形是解本题的关键，也是难点，是一道比较难点压轴题．