Question

（本题满分12分）
如图，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，点P为射线CA上的一个动点，以为圆心，1为半径作．
（1）连结，若，试判断与直线AB的位置关系，并说明理由；
（2）当PC为              时，与直线AB相切？当与直线AB相交时，写出PC的取值范围为                  ；
（3）当与直线AB相交于点M、N时，是否存在△PMN为正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）过点P作PD⊥AB于点D，………………………1分
∵PA = PB，∴AD = BD，……………………………………2分
在Rt△ACB中，AC = 4，BC = 2，
∴AB = ，∴AD =，……………3分
∵tan∠CAB= ，∴AD =>1，……………4分
∴与直线AB相离；……………………………………5分
（2）4±，<PC<；……………………9分
（3）当和线段AB相交时，过点P作PH⊥AB于点H，
∵△PMN为正三角形，即△PMN是边长为1的三角形；
∴，∵tan∠CAB= ，
∴PA=，∴PC=4－；
同理，当交在BA的延长线部分时，PC=4＋．………………12分

略