Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）．下列说法：①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；③若2a+b=0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：由于a+b+c=0，则x=1，即原方程有解，所以b²-4ac≥0；把x=-1和x=2分别代入方程得到a-b+c=0，4a+2b+c=0，然后经过整理可得到2a+c=0；根据根与系数的关系得到两个之和为-，把b=-2a代入得到两个之和为2，则方程有一根大于2，则另一根必为负数；把b=2a+3c代入b²-4ac得到b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²，＞0，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．
解答：解：若a+b+c=0，则x=1，所以b²-4ac≥0，所以①正确；
把x=-1代入方程得到a-b+c=0，把x=2代入方程得4a+2b+c=0，则6a+3c=0，即2a+c=0，所以②正确；
两个之和为-，而b=-2a，则两个之和为2，由于方程有一根大于2，则另一根必为负数，所以③正确；
由b=2a+3c，b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²，＞0，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．