Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，交AC于点O，
（1）求证：△AEO≌△CFO；
（2）连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明；
（3）求线段AF的长．

Answer 1

（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中
，
△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）解：四边形AFCE是菱形，
理由是：由（1）△AEO≌△CFO得：OE=OF
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC
∴平行四边形AFCE是菱形；

（3）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=，
即AF=．
分析：（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；
（3）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程6²+（8-x）²=x²，求出即可．
点评：本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．