【题目】(1)如图1,在中,,,将绕顶点逆时针旋转时,当时,设与于,证明:是等边三角形;
(2)如图1,在中,,,将绕顶点逆时针旋转多少度时,,使得的顶点落在上?
(3)当直角三角形变为一般三角形时,如图2,将绕点逆时针旋转得到,与交于点,可以得到,试证明:.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)由,得∠CBA=60°,根据旋转的性质可得∠AED=∠ACB=30°,而,所以∠ACB=∠CAE =30°,再根据三角形内角和定理即可解答;
(2) 先计算∠B=60°,根据旋转性质得AB=AD,可知△ABD是等边三角形,则旋转角∠BAD的度数可求.
(3)连接,延长到,使,连接,利用旋转的性质得到是等边三角形,再根据等边三角形的性质证明,即可解答.
如图1,∵在△ABC中,,,
∴∠CBA=60°(直角三角形的两个锐角互余).
∵,
∴∠ACB=∠CAE,
又由旋转的性质知,∠AED=∠ACB=30°,
∴∠ACB=∠CAE =30°,
∴∠PAD=∠EAD-CAE =90°-30°=60°,
∴∠ADP=60°,
∴在△CDB中,∠ADP =∠PAD =60°,
∴∠APD=180°-60°-60°=60°,
∴△ADP是等边三角形;
(2)∵∠BAC=90°,∠ACB=30°,
∴∠B=60°.
根据旋转的性质可知AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
旋转角∠BAD=60°.
故答案为60°.
(3)证明:连接,延长到,使,连接,
由旋转可知:∴,,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,∴
在和中,∵,,
∴,
在和中
∴,
∴,
∴.
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【题目】如图,中,,于,,为边上一点.
(1)当时,直接写出 , .
(2)如图1,当,时,连并延长交延长线于,求证:.
(3)如图2,连交于,当且时,求的值.
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【题目】如图,将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,点A的横坐标为1,则点C的坐标为( )
A. (,-1) B. (2,﹣1) C. (1,-) D. (﹣1,)
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【题目】某校门口竖着“前方学校,减速慢行”的交通指示牌CD,数学“综合与实践”小组的同学将“测量交通指示牌CD的高度”作为一项课题活动,他们定好了如下测量方案:
项目 | 内容 |
课题 | 测量交通指示牌CD的高度 |
测量示意图 | |
测量步骤 | (1)从交通指示牌下的点M处出发向前走10 米到达A处; (2)在点A处用量角仪测得∠DAM=27°; (3)从点A沿直线MA向前走10米到达B处;(4)在点B处用量角仪测得∠CBA=18°. |
请你帮助该小组同学根据上表中的测量数据,求出交通指示牌CD的高度.(参考数据sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51,sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)
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【题目】已知关于x的一元二次方程。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时,求k的值。
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【题目】用黑白棋子摆出下列一组图形,根据规律可知.
(1)在第n个图中,白棋共有 枚,黑棋共有 枚;
(2)在第几个图形中,白棋共有300枚;
(3)白棋的个数能否与黑棋的个数相等?若能,求出是第几个图形,若不能,说明理由.
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【题目】甲、乙两车间同时开始加工一批服装.从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件).甲车间加工的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示,则下列结论错误的是( )
A.甲车间每小时加工服装80件
B.这批服装的总件数为1140件
C.乙车间每小时加工服装为60件
D.乙车间维修设备用了4小时
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【题目】如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,对称轴为直线x=2,则下列结论正确的有( )个.
①ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
②3a﹣c>0
③a﹣b+c<0
④(0,y1)、(4,y2)在此二次函数的图象上,则y1<y2
A.1B.2C.3D.4
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