Question

【题目】正方形中，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．

（1）如图1，若点在线段上，

①直接写出的度数为 °；

②求证：；

（2）如图2，若点在的延长线上，，，

①依题意补全图2；

②直接写出线段的长度为 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②证明见解析；（2）①补全图形见解析；②．

【解析】

（1）①证明△BAP≌△BCE，得∠BAC=∠BCE=45°，从而可求出结论；

②连接，可得△PBE，△PCE均为直角三角形，利用勾股定理即可求解；

（2）①根据提示补全图形即可；

②连接PE，可得△PBE，△PCE均为直角三角形，利用勾股定理求得PE=，PC=5，从而可求AC=4.

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵∠PBE=90°，

∴∠ABP=∠CBE，

又BP=BE，

∴△BAP≌△BCE，

∴∠BAP=∠BCE

∵AC是正方形的对角线，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BCE=∠BCA=45°，

∴∠BCE+∠BCA=90°，即的度数为90°；

②证明：连接，如图．

∵四边形是正方形，

∴，，．

∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，

∴，．

∴，

．

∴≌（）．

∴，．

∴．

在中，由勾股定理，得．

∵，，

∴．

（2）①补全的图形如图所示．

②连接PE．易证△PBA≌△EBC，

∴CE=PA=1，∠BAP=∠BCE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BAP=∠BCE=135°，

∴∠ECA=90°,即△PCE是直角三角形，

在Rt△PBE中，PE=PB=，

在Rt△PCE中，PC=

∴AC=PC-PA=5-1=4.