Question

如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，
（1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB；
（2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若AB=10，BC=8，⊙O与DC边相交于H，I两点，连结BH，当∠ABE=∠CBH时，求△ABE的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理得出OP∥AE，AE=2PO，即可得出答案；
（2）首先延长PO交CD于M，求出MO的长等于半径，进而得出答案；
（3）根据题意当∠1=∠2时，可得出tan∠1=tan∠2=tan∠4，设AE=x，CH=y，则DE=8-x，DH=10-y，可得

x

10

=

y

8

=

8-x

10-y

，求出x的值，即可得出答案．

解答：解：（1）如图1，
∵矩形ABCD，∴∠A=90°，∴BE为直径，
∴OE=OB，
∵AP=BP，
∴OP∥AE，AE=2PO，
∴∠OPB=∠A=90°，
即OP⊥AB．

（2）此时直线CD与⊙O相切．
理由：如图1，延长PO交CD于M，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=6，
则BE²=6²+8²=100，
∴BE=10，
∴此时⊙O的半径r=5，∴OM=r=5，
∵在矩形APMD中，PM=AD=8，
∴OM=PM-OP=5=r，
∴直线CD与⊙O相切．

（3）如图2，

【方法I】
∵BE为直径，
∴∠EHB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠C=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴当∠1=∠2时，有
tan∠1=tan∠2=tan∠4，
设AE=x，CH=y，则DE=8-x，DH=10-y，
∴

x

10

=

y

8

=

8-x

10-y

，
解得，x=20，或x=5，
∵AE=x＜8，∴x=20，不合题意，舍去，取AE=x=5，
Rt△ABE的面积=

1

2

AE×AB=

1

2

×5×10=25．
【方法II】如图3，延长PO交CD于点F，连接OH，

在矩形FPBC，OP⊥AB，且FC=PB=

1

2

AB=5，
OP=

1

2

AE，OF=8-

1

2

AE，BE=2HO，
当∠ABE=∠CBH时，设tan∠ABE=tan∠CBH=k时，
在Rt△ABE中，则AE=10tan∠ABE=10k，
在Rt△HBC中，则HC=8tan∠ABE=8k，
∴OP=5k，OF=8-5k，FH=5-8k，
在Rt△ABE中，BE²=AE²+AB²=100（1+k²），
在Rt△OFH中，HO²=FH²+OF²=（5-8k）²+（8-5k）²，
∵BE=2HO，∴BE²=4 HO²
∴100（1+k²）=4[（5-8k）²+（8-5k）²]，
整理得，2 k²-5k+2=0，
解得，k=2，或k=

1

2

，
当k=2时，AE=10k=20＞8，不合题意，舍去；
当k=

1

2

时，AE=10k=5＜8，符合题意，
此时，Rt△ABE的面积=

1

2

AE×AB=

1

2

×5×10=25．

点评：此题主要考查了圆的综合以及锐角三角函数关系以及勾股定理和切线的判定等知识，利用数形结合构建直角三角形是解题关键．