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6.如图,半径为5的⊙P与y轴相交于点M(0,-4)和N(0,-10),以P为顶点的抛物线经过点M,求抛物线的解析式.

分析 如图,连接PM,作PE⊥MN于E.首先利用勾股定理求出点P坐标,利用顶点式设抛物线的解析式,由此即可解决问题.

解答 解:如图,连接PM,作PE⊥MN于E.

∵点M(0,-4)和N(0,-10),
∴OM=4,ON=10,MN=6,
∵PE⊥MN,
∴EM=EN=3,
在Rt△PME中,∵PM=5,EM=3,∠PEM=90°,
∴PE=$\sqrt{P{M}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
∴点P坐标(-4,-7),
设P为顶点的抛物线的解析式为y=a(x+4)2-7,把(0,-4)代入得到a=$\frac{3}{16}$,
∴抛物线解析式为y=$\frac{3}{16}$(x+4)2-7.

点评 本题考查直线与圆的位置关系、二次函数、待定系数法、垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,记住抛物线的三种形式,属于中考常考题型.

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