Question

41、如图所示，点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，AE，BF相交于点G，BE=CF，求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．

Answer 1

分析：（1）此题要先证明△ABE≌△BCF，才能得出AE=BF；
（2）由全等可知∠BAE=∠CBF，又因为∠BAE+∠AEB=90°，∠CBF+∠AEB=90°，可得∠BGE=90°，即AE⊥BF．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF．
∴AE=BF．

（2）∵∠BAE=∠CBF，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°．
∴∠BGE=90°．
∴AE⊥BF．

点评：此题主要是根据正方形的性质得到两个三角形中有关的角相等以及线段相等，充分运用全等三角形的判定方法证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等．