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(附加题)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CE⊥AD,垂足为E,交大圆于F,H两点.
(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:FC•CH=AE•AO;
(3)若FC,CH是方程x2-2x+4=0的两根(CH>CF),求图中阴影部分图形的周长.

【答案】分析:(1)相等,主要根据是垂径定理,从已知条件中可知AB为大圆的弦,且垂直于半径,所以相等.
(2)利用切线定理,和相交弦定理就可证明.
(3)先解方程求出根,再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段,分别计算相加.
解答:(1)解:相等.(1分)
连接OC,则CO⊥AB,故AC=BC.(3分)

(2)证明:由△ACH∽△FCB,得AC•CB=FC•CH=AC2,(4分)
又由△ACE∽△AOC,得AC2=AE•AO.(5分)
∴FC•CH=AE•AO.(6分)

(3)解:解方程得:CH=+1,CF=-1,(7分)
CE=-(-1)=1,AC2=4,AC=2,
在Rt△ACE中,sinA=
∴∠A=30°,∴∠AOC=60°,∠CON=120度.
在△ACO中,CO=AC•tanA=2×
AO=,AM=AO-OM=
弧CN长=
AN=AM+2OC=,(9分)
阴影部分周长=AC+AN+.(10分)
点评:[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识.
练习册系列答案
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(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:FC•CH=AE•AO;
(3)若FC,CH是方程x2-2
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x+4=0的两根(CH>CF),求图中阴影部分图形的周长.

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