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11.如图,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC
(1)尺规作图:在AD上标出一点P,使得点P到点B和点C的距离相等(不写作法,但必须保留作图痕迹);
(2)过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,求证:BE=CF;
(3)若AB=a,AC=b,则BE=$\frac{a-b}{2}$,AE=$\frac{a+b}{2}$.

分析 (1)作线段BC 的垂直平分线与AD的交点即为所求.
(2)只要证明△PEB≌△PFC即可.
(3)只要证明△PAE≌△PAF,推出AE=AF,设BE=CF=x,则有a-x=b+x,解方程即可解决问题.

解答 解:(1)①作线段BC的垂直平分线交AD于P.
点P就是所求的点.


(2)连接PB、PC.
∵∠PAB=∠PAF,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴PE=PF,
在Rt△PEB和Rt△PFC中,
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$,
∴△PEB≌△PFC,
∴BE=CF.

(3)设BE=CF=x,
在Rt∴△PAE和Rt△PAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PE=PF}\end{array}\right.$,
∴△PAE≌△PAF,
∴AE=AF,
∴AB-BE=AC+CF,
∴a-x=b+x,
∴x=$\frac{a-b}{2}$,
∴BE=$\frac{a-b}{2}$,AE=AB-BE=a-$\frac{a-b}{2}$=$\frac{a+b}{2}$,
故答案为$\frac{a-b}{2}$,$\frac{a+b}{2}$.

点评 本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质.角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,学会把问题转化为方程去解决,属于中考常考题型.

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