Question

如图在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）试说明：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO，
∵BE平分∠CBO，
∴∠EBO=∠CBE，
∴∠BEO=∠CBE，
∴EO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=∠C=90°，
则AC是圆O的切线；

（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，
∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，
根据勾股定理得：AE==4，
则S_阴影=S_△AOE-S_扇形EOD=×4×4-=8-．
分析：（1）由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OE与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到OE⊥AC，即可得证；
（2）由∠A的度数求出∠AOE度数，利用30°直角三角形的性质求出OA的长，利用勾股定理求出AE的长，阴影部分面积=直角三角形AOE面积-扇形OED面积，求出即可．
点评：此题考查了切线的判定，以及扇形面积的计算，涉及的知识有：等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．