Question

18．如图：已知抛物线y=-$\frac{1}{2m}$（x+3m）（x-m）（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y交于点C，抛物线对称轴与x轴交于点D，$E（\frac{{9\sqrt{3}}}{2}，0）$为x轴上一点．
（1）写出点A、B、C的坐标（用m表示）；
（2）若以DE为直径的圆经过点C且与抛物线交于另一点F，
①求抛物线解析式；
②P为线段DE上一动（不与D、E重合），过P作PQ⊥EC作PH⊥DF，判断$\frac{PQ}{DC}+\frac{PH}{EF}$是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；
（3）如图②，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，与y相交于点M，连接BM．点S是线段AM的中点，连接OS．若点N是线段BM上一个动点，连接SN，将△SMN绕点S逆时针旋转60°得到△SOT，延长TO交BM于点K．若△KTN的面积等于△ABM的面积的$\frac{1}{12}$，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到关于x的方程，可求得点A和点B的横坐标，令x=0求得对应的y值可得到点C的纵坐标；
（2）①由点A和点B的坐标可求得抛物线的对称轴为x=-m，则OD=m，然后证明△COD∽△EOC，依据相似三角形的性质可列出关于m的方程，从而可求得m的值；②证明△EQP∽△ECD、△EDF∽△PDH，然后依据相似三角形的性质得到$\frac{PQ}{DC}=\frac{PE}{DE}$、$\frac{PH}{EF}=\frac{DP}{DE}$，然后代入求解即可；
（3）首先依据题意画出符合题意得图形，接下来，再先求得点M的坐标，然后可求得MB的解析式，然后再求得∠AOT=60°，可得到TO的解析式，故此可求得K坐标和OK的长，然后证明OK=KM，设MN=a，TK=TO+OK=a+2$\sqrt{3}$，则△KTN的高h=TK•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+3，NK=|2$\sqrt{3}$-a|，最后利用三角形的面积公式列方程求解即可．

解答 解：（1）令y=0得：0=-$\frac{1}{2m}$（x+3m）（x-m），解得：x=-3m或x=m，
∵点A在点B左侧，
∴A（-3m，0），B（m，0）．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=$\frac{3m}{2}$．
∴C（0，$\frac{3m}{2}$）．

（2）∵A（-3m，0），B（m，0）．
∴抛物线的对称轴为x=-m．
∴OD=m．
∵DE为圆的直径，
∴∠DCE=90°．
∵∠DCO+∠OCE=90°，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠OCE=∠CDO．
又∵∠DOC=∠COE，
∴△COD∽△EOC．
∴$\frac{CO}{OE}$=$\frac{OD}{OC}$即$\frac{\frac{3m}{2}}{\frac{9\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{m}{\frac{3m}{2}}$，解得：m=2$\sqrt{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-x+3$\sqrt{3}$．

②如图1所示：

∵PQ⊥CE，
∴∠EQP=90°．
∴∠EQP=∠ECD．
又∵∠CED=∠QEP，
∴△EQP∽△ECD．
∴$\frac{PQ}{DC}=\frac{PE}{DE}$．
∵DE是圆的直径，
∴∠DFE=90°．
∵PH⊥DF，
∴∠DHP=90°．
∴∠DFE=∠DHP．
又∵∠PDH=∠EDF，
∴△EDF∽△PDH．
∴$\frac{PH}{EF}=\frac{DP}{DE}$．
∴$\frac{PQ}{DC}$+$\frac{PH}{EF}$=$\frac{PE+DP}{DE}$=$\frac{DE}{DE}$=1．

（3）如图3所示：

∵A（-3m，0），B（m，0），m=2$\sqrt{3}$，
∴A（$-6\sqrt{3}$，0），B（$2\sqrt{3}$，0）．
∵∠OAM=30°，
∴OM=tan30°•OA=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=6，
∴M（0，-6）．
设MB的解析式为y=kx+b，将点B和点M的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-6，k=$\sqrt{3}$．
∴BM的解析式为y=$\sqrt{3}$x-6．
∵S是线段AM的中点，∠AOM=90°，
∴OS=AS=$\frac{1}{2}$AM．
∴∠SAO=∠SOA=30°．
∵tan∠OMB=$\frac{OB}{OM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OMB=30°．
又∵∠OAM=30°，∠AOM=90°，
∴∠AMO=60°．
∴∠AMB=90°．
由旋转的性质可知：∠TOS=∠SMN=90°，TO=MN．
∴∠AOT=60°，
∴直线TK：y=-$\sqrt{3}$x．
将y=-$\sqrt{3}$x与y=$\sqrt{3}$x-6．联立，解得：K（$\sqrt{3}$，-3）．
依据两点间的距离可知：OK=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

∵∠B=60°，∠BOK=∠AOT=60°，
△OBK为等边三角形．
∴OB=KB．
又∵∠OMB=30°，∠BOM=90°，
∴MB=2OB．
∴MK=BK=OB=2$\sqrt{3}$．
设MN=a，TK=TO+OK=a+2$\sqrt{3}$，则△KTN的高h=TK•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+3，NK=|2$\sqrt{3}$-a|，
∵S_△KTN=$\frac{1}{12}$S_△ABM=$\frac{1}{2}$•NK•h=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×|2$\sqrt{3}$-a|×（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$+3）=2$\sqrt{3}$．
当2$\sqrt{3}$-a＞0时，整理得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\sqrt{3}$，解得a=2或a=-2（舍去）．
当2$\sqrt{3}$-a＜0时，整理得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=5$\sqrt{3}$，解得：a=2$\sqrt{5}$或a=-$\sqrt{5}$（舍去）．
综上所述，MN的长为2或$2\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要二次函数的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定、旋转的性质、等边三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数的解析式，依据题意求得直线TK和BM的解析式是解答本题本题的关键．