已知:抛物线y=$\frac{1}{16}$x2+bx+c的图象与x轴的负半轴相较于点A.与x轴的正半轴相交于点B.与y轴交与点C.8OC2=3OA•OB且△ABC的面积为60．(1)求该抛物线的解析式,(2)点D在线段AB上且AD=AC.若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动.同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动.问是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

已知：抛物线y=$\frac{1}{16}$x²+bx+c（c＜0）的图象与x轴的负半轴相较于点A，与x轴的正半轴相交于点B，与y轴交与点C，8OC²=3OA•OB且△ABC的面积为60．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，是△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由．

分析（1））设A（m，0），B（n，0），由题意mn=16c，OC=-c，OA•OB=-16c，由8OC²=3OA•OB，列出方程求出c，再根据$\left\{\begin{array}{l}{OA+OB=20}\\{OA•OB=96}\end{array}\right.$，OB＞OA，求出OA、OB即可解决问题．
（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；
（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．

解答解；（1）设A（m，0），B（n，0），
由题意mn=16c，
∴OC=-c，OA•OB=-16c，
∵8OC²=3OA•OB，
∴8c²=3×（-16c），
∵c＜0，
∴c=-6，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=60，
∴AB=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{OA+OB=20}\\{OA•OB=96}\end{array}\right.$
∵OB＞OA，
∴OA=8，OB=12，
∴点A（-8，0），B（12，0），C（0，-6），
∴0=$\frac{1}{16}$×64-8b-6，
∴b=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x-6．

（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10=AD，
∴点D在对称轴上，连接DQ，显然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DB=AB-AD=20-10=10，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6 $\sqrt{5}$，
而DQ为△ABC的中位线，
∴CQ=3 $\sqrt{5}$，
∴点Q的运动速度为每秒 $\frac{3\sqrt{5}}{5}$单位长度；

（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3 $\sqrt{10}$，
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
则：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=3x-6
当x=1时，y=-3，
∴M₁（1，-3）．
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），
则OP=3，点M的横坐标为1，纵坐标为y，根据勾股定理得PM₂²=4²+y²，
又PQ²=90，
则4²+y²=90，
即y=±$\sqrt{74}$，
∴M₂（1，$\sqrt{74}$），M3（1，-$\sqrt{74}$）．
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）
设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：
（y+3）²+5²=90即y=-3±$\sqrt{65}$，
∴M4（1，-3+$\sqrt{65}$ ），M5（1，-3-$\sqrt{65}$）．
综上所述：存在这样的五点：
M₁（1，-3），M₂（1，$\sqrt{74}$），M3（1，-$\sqrt{74}$），M4（1，-3+$\sqrt{65}$），M5（1，-3-$\sqrt{65}$）．

点评此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．

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7．

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