Question

3．如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax²+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax²+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x₁-x₂|求出；
当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y₁-y₂|求出．

Answer 1

分析 （1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n²+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H₁，可得点H₁的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM₁，可得点M₁的坐标连结H₁M₁分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H₁M₁+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H₁M₁解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（-1，0），C（0，5），
∵二次函数y=ax²+4x+c的图象过A，C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-4+c}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-x²+4x+5；
（2）如图1，
∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，
∴由二次函数的表达式为y=-x²+4x+5得，点B的坐标B（5，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∵直线BC过点B（5，0），C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+5，
设ND的长为d，N点的横坐标为n，
则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n²+4n+5），
则d=|-n²+4n+5-（-n+5）|，
由题意可知：-n²+4n+5＞-n+5，
∴d=-n²+4n+5-（-n+5）=-n²+5n=-（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当n=$\frac{5}{2}$时，线段ND长度的最大值是$\frac{25}{4}$；
（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），
作点H（2，9）关于y轴的对称点H₁，则点H₁的坐标为H₁（-2，9），
作点M（4，5）关于x轴的对称点HM₁，则点M₁的坐标为M₁（4，-5），
连结H₁M₁分别交x轴于点F，y轴于点E，
所以H₁M₁+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，
设直线H₁M₁解析式为y=k₁x+b₁，
直线H₁M₁过点M₁（4，-5），H₁（-2，9），
根据题意得方程组$\left\{\begin{array}{l}{-5=4{k}_{1}+{b}_{1}}\\{9=-2{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{7}{3}}\\{{b}_{1}=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{7}{3}$x+$\frac{13}{3}$，
∴点F，E的坐标分别为（$\frac{13}{7}$，0）（0，$\frac{13}{3}$）．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的表达式，待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的顶点坐标，两点间的距离公式，二次函数的最值，轴对称-最短路线问题，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．