在等边△AOB中.将扇形COD按图1摆放.使扇形的半径OC.OD分别与OA.OB重合.OA=OB=2.OC=OD=1.固定等边△AOB不动.让扇形COD绕点O逆时针旋转.线段AC.BD也随之变化.设旋转角为α．(1)当OC∥AB时.旋转角α=60或240度,发现:(2)线段AC与BD有何数量关系.请仅就图2给出证明．应用:(3)当A.C.D三点共线时.求BD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

18．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α=60或240度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．

分析（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．
（3）在图3、图4中，分别求解即可．
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=$\sqrt{3}$-1．

解答解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，
此时旋转角α=60°或240°．
故答案为60或240；

（2）结论：AC=BD，理由如下：
如图2中，

∵∠COD=∠AOB=60°，
∴∠COA=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠COA=∠DOB}\\{CO=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD；

（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，
∴CH=HD=$\frac{1}{2}$，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△AOH中，
AH=$\sqrt{O{A}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴BD=AC=CH+AH=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．

易知AC=BD=AH-CH=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$；

（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=$\sqrt{3}$-1．

点评本题考查圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

8．

如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

9．

如图是一副三角板拼成的图案，则∠1=105°．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

6．

如图，四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，A（1，3），D（3，1），AB和CD分别与y轴交于点E、F，连接OB．
（1）写出点B和点C的坐标；
（2）求四边形OBCF的面积；
（3）判断点（1，-0.8）在矩形ABCD的内部还是外部；
（4）要使直线y=$\frac{1}{2}$x+m与矩形ABCD没有公共点，直接写出m的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

13．

如图，已知C，D是反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），连结OC，OD．
（1）求证：y₁＜OC＜y₁+$\frac{m}{{y}_{1}}$；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，tanα=$\frac{1}{3}$，OC=$\sqrt{10}$，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

3．

如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=34.5米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=20米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（$\sqrt{3}$取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

10．计算：
（1）2$\sqrt{12}$+6$\sqrt{\frac{1}{3}}$-3$\sqrt{48}$
（2）$\frac{2}{3}$$\sqrt{9x}$+6$\sqrt{\frac{x}{4}}$-2x$\sqrt{\frac{1}{x}}$．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

7．如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．

（1）发现：在图1中，$\frac{MN}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出$\frac{MN}{BD}$的值；
（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出$\frac{MN}{BD}$的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

8．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为10．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学