Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=（180°-36°）=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=×72°=36°，
∴∠BCE=∠A=36°，
∴AE=BC，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴=，
∴BC²=AB•BE，
即AE²=AB•BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，
∴BC=CE，
由（1）已证AE=CE，
∴AE=CE=BC，
∴BC=•AB=×4=2-2．
分析：（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°，从而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE=CE=BC，再根据黄金分割求解即可．
点评：本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键．