Question

已知a²+3a+1=0，求（1）a²+

1

a2

；（2）a⁴+

1

a4

．

Answer 1

分析：解决这类求值题时，应先观察题目的特点，就本题而言，如果想通过已知条件求出字母a的值再代入，可能比较困难，所以应考虑利用转化及整体思想解题．结合所给已知条件，不难将其转化为a+

1

a

=-3，这样就可以依次求得a2+

1

a2

、a4+

1

a4

的值了．

解答：解：（1）根据题意，将等式a²+3a+1=0两边同时除以a（a≠0）得：a+

1

a

=-3，
两边同时平方得：(a+

1

a

)2=(-3)2=9
∴a2+

1

a2

=7；
（2）由（1）得a2+

1

a2

=7，两边再次平方，得(a2+

1

a2

)2=72
∴a4+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2=49-2=47．

点评：分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．